Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=60，a_n+1-a_n=2n，則$\frac{{a}_{n}}{n}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{29}{2}$
• B． 2$\sqrt{60}$
• C． $\frac{29}{4}$
• D． $\frac{102}{7}$

Answer 1

分析 由累加法求出a_n=60+n²-n，所以$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{60}{n}$+n-1，設(shè)f（n）=$\frac{60}{n}$+n-1，由此能導(dǎo)出n=8時(shí)f（n）有最小值．借此能得到$\frac{{a}_{n}}{n}$的最小值．

解答 解：a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2[1+2+…+（n-1）]+60=60+n²-n
所以$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{60}{n}$+n-1
設(shè)f（n）=$\frac{60}{n}$+n-1，令f′（n）=$\frac{-60}{{n}^{2}}$+1＞0，
則f（n）在（$\sqrt{60}$，+∞）上是單調(diào)遞增，在（0，$\sqrt{60}$）上是遞減的，
因?yàn)閚∈N₊，所以當(dāng)n=8時(shí)f（n）有最小值．
又因?yàn)?\frac{{a}_{8}}{8}$=$\frac{60}{8}+7$=14.5=$\frac{29}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，考查了同學(xué)們綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．