Question

2．已知在${（\sqrt{x}-\frac{1}{{2\root{4}{x}}}）^n}$的展開式中，只有第5項二項式系數(shù)最大．
（1）判斷展開式中是否存在常數(shù)項，若存在，求出常數(shù)項；若不存在，說明理由；
（2）求展開式的所有有理項．

Answer 1

分析 （1）先求出n=8，利用二項展開式的通項公式求出通項，令x的指數(shù)0，求出k的值，即可判斷是否有常數(shù)項
（2）分別令x的指數(shù)為整數(shù)，即可求出有理項．

解答 解：（1）項式系數(shù)最大的只有第5項C_n⁴ 最大，n=8
∴T_k+1=C₈^k（$\sqrt{x}$）^8-k（-$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）^k=（-1）^k2^-kC₈^kx${\;}^{\frac{16-3k}{4}}$，
若存在常數(shù)項，則$\frac{16-3k}{4}$=0，
即3k=16，又k∈N，這不可能，
∴沒有常數(shù)項；
（2）：若T_k+1為有理項，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{16-3k}{4}=0$為整數(shù)，
因?yàn)?≤k≤8，k∈N，所以k=0，4，8，
即展開式中的有理項有3項，它們是${T_1}={x^4}，{T_5}=\frac{35}{8}x，{T_9}=\frac{1}{256}{{x^{-2}}}^{\;}$．

點(diǎn)評 本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題，屬于中檔題