Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-a1nx+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1處的切線的方程為3x-y-3=0，求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若-2≤a＜0，對任意x₁，x₂∈（0，2]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m|$\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}$|恒成立，求實數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線方程得到關(guān)于a，b的方程，求出a，b的值即可；
（Ⅱ）問題可化為$f（{x_2}）+\frac{m}{x_2}≤f（{x_1}）+\frac{m}{x_1}$，設(shè)$h（x）=f（x）+\frac{m}{x}$=$\frac{1}{2}{x^2}-a1nx+b+\frac{m}{x}$，則h（x₁）≥h（x₂）恒成立．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）因為$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-a1nx+b$，所以$f'（x）=x-\frac{a}{x}$，
因為y=f（x）在x=1處的切線的方程為3x-y-3=0，
所以1-a=3，a=-2，又f（1）=0，所以$\frac{1}{2}+b=0$即$b=-\frac{1}{2}$
（Ⅱ）-2≤a＜0對任意0＜x≤2，
所以$f'（x）=x-\frac{a}{x}＞0$，所以函數(shù)f（x）在（0，2]單調(diào)遞增，
不妨設(shè)0＜x₁≤x₂≤2，則$|f（{x_1}）-f（{x_2}）|≤m|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|$，
可化為$f（{x_2}）+\frac{m}{x_2}≤f（{x_1}）+\frac{m}{x_1}$，
設(shè)$h（x）=f（x）+\frac{m}{x}$=$\frac{1}{2}{x^2}-a1nx+b+\frac{m}{x}$，
則h（x₁）≥h（x₂）恒成立．
所以h（x）在（0，2]單調(diào)遞減，
即$h'（x）=x-\frac{a}{x}-\frac{m}{x^2}≤0$在（0，2]上恒成立，
等價于x³-ax-m≤0在（0，2]上恒成立，
即m≥x³-ax在（0，2]上恒成立，
又-2≤a＜0，所以ax≥-2x，所以x³-ax≤x³+2x，
而y=x³+2x在（0，2]單調(diào)遞增，所以x³+2x≤12，
所以x³-ax≤12，（當且僅當a=-2，x=2時等號成立），
所以m≥12，即m的最小值為12．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．