Question

隨著我國(guó)加入WTO，某企業(yè)決定從甲、乙兩種產(chǎn)品中選擇一種投資生產(chǎn)，打入國(guó)際市場(chǎng)，已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如表：（單位：萬(wàn)元）

	年固定成品	每件產(chǎn)品成本	每件產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)	每件可最多生產(chǎn)件數(shù)
甲產(chǎn)品	20	a	10	200
乙產(chǎn)品	40	8	18	120

其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無(wú)關(guān)，a為常數(shù)，且3≤a≤8．另外，年銷(xiāo)售x件乙產(chǎn)品時(shí)需上交0.05x²萬(wàn)美元的特別關(guān)稅．
（Ⅰ）寫(xiě)出該廠分別投資生產(chǎn)甲、乙兩產(chǎn)品的年利潤(rùn)y₁，y₂與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x（x∈N）之間的函數(shù)關(guān)系；
（Ⅱ）分別求出投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的最大年利潤(rùn)；
（Ⅲ）如何決定投資可獲最大年利潤(rùn)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）由年銷(xiāo)售量為x件，按利潤(rùn)的計(jì)算公式，y₁=10×x-（20+ax）=（10-a）x-20，0≤x≤200且x∈N，y₂=18×x-（40+8x）-0.05x²，0≤x≤120，x∈N；化簡(jiǎn)；
（II）由函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最大值；
（III）問(wèn)題即研究生產(chǎn)哪種產(chǎn)品年利潤(rùn)最大，為此，我們作差比較即可．

解答： 解：（I）由年銷(xiāo)售量為x件，按利潤(rùn)的計(jì)算公式，
有生產(chǎn)甲、乙兩產(chǎn)品的年利潤(rùn)y₁，y₂分別為：
y₁=10×x-（20+ax）=（10-a）x-20，0≤x≤200且x∈N．
y₂=18×x-（40+8x）-0.05x²=-0.05x²+10x-40
=-0.05（x-100）²+460，0≤x≤120，x∈N．
（II）∵3≤a≤8，∴10-a＞0，
∴y₁=（10-a）x-20為增函數(shù)，
又∵0≤x≤200，x∈N，
∴x=200時(shí)，生產(chǎn)甲產(chǎn)品的最大年利潤(rùn)為（10-a）×200-20=1980-200a（萬(wàn)美元）．
又y₂=-0.05（x-100）²+460，且0≤x≤120，x∈N．
∴x=100時(shí)，生產(chǎn)乙產(chǎn)品的最大年利潤(rùn)為460（萬(wàn)美元）．
（III）（y₁）_max-（y₂）_max=（1980-200a）-460=1520-200a

＞0，3≤a＜7.6 =0，a=7.6 ＜0，7.6＜a≤8

所以：當(dāng)3≤a＜7.6時(shí)，投資生產(chǎn)甲產(chǎn)品200件可獲最大年利潤(rùn)．
當(dāng)a=7.6時(shí)，生產(chǎn)甲產(chǎn)品與生產(chǎn)乙產(chǎn)品均可獲得最大年利潤(rùn)；
當(dāng)7.6＜a≤8時(shí)，投資生產(chǎn)乙產(chǎn)品100件可獲最大年利潤(rùn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，屬于中檔題．