Question

6．已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，直線AB過點(diǎn)與拋物線C交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且AB=6，若AB的垂直平分線交x軸于P點(diǎn)，則|$\overrightarrow{OP}$|=4．

Answer 1

分析 先根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，直線y=k（x-1）代入y²=4x，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，再由拋物線的性質(zhì)求出AB的垂直平分線方程，令y=0，計(jì)算可得到答案．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F的直線y=k（x-1）與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線y=k（x-1）代入y²=4x，整理可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
可得x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
利用拋物線定義，x₁+x₂=|AB|-p=6-2=4．
可得AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，
由2+$\frac{4}{{k}^{2}}$=4，解得k=±$\sqrt{2}$，
AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)為k，AB的垂直平分線方程為y-k=-$\frac{1}{k}$（x-2），
令y=0，可得x=4，
即有|$\overrightarrow{OP}$|=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評 本題主要考查了拋物線的定義、性質(zhì)，屬中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，確定AB的垂直平分線方程是關(guān)鍵．