Question

已知函數(shù)f（x）=

ax-6

x2+b

的圖象在點(diǎn)M（-1，f（-1））處的切線方程為x+2y+5=0．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），把M的坐標(biāo)代入切線方程即可求出f（-1）=-2，代入f（x）中，再根據(jù)切線的斜率為-

1

2

得到f′（-1）=-

1

2

，代入到f′（x）中，聯(lián)立兩者求出a與b的值即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）把a(bǔ)與b的值代入到f′（x）中求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，讓f′（x）大于0求出x的取值范圍即為函數(shù)的遞增區(qū)間；讓f′（x）小于0求出x的取值范圍即為函數(shù)的遞減區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)M（-1，f（-1））處的切線的方程為x+2y+5=0，
得-1+2f（-1）+5=0，即f（-1）=-2，而根據(jù)切線的斜率為-

1

2

得到f′（-1）=-

1

2

，
∵f′（x）=

a(x2+b)-2x(ax-6)

(x2+b)2

，
利用f（-1）=-2和f′（-1）=-

1

2

聯(lián)立得

-a-6 1+b =-2 a(1+b)+2(-a-6) (1+b)2 =- 1 2

∴解得

a=2 b=3

，把a(bǔ)和b的值代入可得f(x)=

2x-6

x2+3

；
（II）f′（x）=

-2x2+12x+6

(x2+3)2

，由f′（x）＞0得到3-2

3

＜x＜3+2

3

；
由f'（x）＜0得到，x＜3-2

3

或x＞3+2

3

所以函數(shù)f（x）在（-∞，3-2

3

），（3+2

3

，+∞）上單調(diào)遞減，在（3-2

3

，3+2

3

）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合題，要求學(xué)生會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，讓學(xué)生掌握利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的斜率及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．