Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，當(dāng)n≥2時，a_n=2a_nS_n-2S_n²．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正數(shù)k，使（1+S₁）（1+S₂）…（1+S_n）≥k$\sqrt{2n+1}$對一切正整數(shù)n都成立？若存在，求k的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列的性質(zhì)對其經(jīng)行變形整理出可以判斷數(shù)列為等差數(shù)列的形式即可，求出S_n，再根據(jù)a_n=S_n-S_n-1，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，
（2）先構(gòu)造函數(shù)f（n）并判斷其單調(diào)性，然后再由函數(shù)的單調(diào)性解決函數(shù)恒成立的，求出參數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）∵當(dāng)n≥2時，a_n=2a_nS_n-2S_n²，
∴a_n=$\frac{2{S}_{n}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，n≥2，
∴（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2S_n²，
∴S_n-S_n-1=2S_nS_n-1，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$2，n≥2，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}$=1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$，
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n-3}$=-$\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$，
∵a₁=S₁=1，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1．n=1}\\{-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}，n≥2}\end{array}\right.$，
（2）設(shè)f（n）=$\frac{（1+{S}_{1}）（1+{S}_{2}）…（1+{S}_{n}）}{\sqrt{2n+1}}$，
則$\frac{f（n+1）}{f（n）}$=$\frac{2n+2}{\sqrt{2n+1}•\sqrt{2n+3}}$=$\frac{\sqrt{4{n}^{2}+8n+4}}{\sqrt{4{n}^{2}+8n+3}}$＞1，
∴f（n）在n∈N*上遞增，
要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）_min≥k，
∵f（n）_min=f（1）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴0＜k≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系以及述略與不等式相結(jié)合的有關(guān)問題，第二問中轉(zhuǎn)化為函數(shù)來判斷單調(diào)性都需要較高的知識組合能力以及較高的觀察能力．