Question

11．已知常數(shù)ω＞0，f（x）=-1+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+2cos²ωx圖象的對(duì)稱中心得到對(duì)稱軸的距離的最小值為$\frac{π}{4}$，若f（x₀）=$\frac{6}{5}$，$\frac{π}{4}$≤x₀≤$\frac{π}{2}$，則cos2x₀=（　�。�

• A． $\frac{3+2\sqrt{3}}{10}$
• B． $\frac{3-2\sqrt{2}}{10}$
• C． $\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$
• D． $\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$

Answer 1

分析 將函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)成只有一個(gè)函數(shù)名，對(duì)稱中心得到對(duì)稱軸的距離的最小值為$\frac{π}{4}$，可得T=π．根據(jù)f（x₀）=$\frac{6}{5}$，$\frac{π}{4}$≤x₀≤$\frac{π}{2}$，求出x₀，可得cos2x₀的值．

解答 解：由f（x）=-1+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+2cos²ωx，
化簡(jiǎn)可得：f（x）=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）
∵對(duì)稱中心得到對(duì)稱軸的距離的最小值為$\frac{π}{4}$，
∴T=π．
由$T=\frac{2π}{2ω}=π$，
可得：ω=1．
f（x₀）=$\frac{6}{5}$，即2sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{6}{5}$
∵$\frac{π}{4}$≤x₀≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{2π}{3}$≤2x₀+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$
∴sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$＞0
∴cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$-\frac{4}{5}$．
那么：cos2x₀=cos（2x₀+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$
故選D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．