Question

【題目】已知點，直線為平面內的動點，過點作直線的垂線，垂足為點，且.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過點作兩條互相垂直的直線與分別交軌跡于四點.求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） (2)

【解析】

（1）設動點，則，由展開計算得到的關系式即可；(2)當直線的斜率不存在（或者為0）時，可求出四點坐標，即可得到；當直線的斜率存在且不為0時，設為，直線的方程為，與軌跡的方程聯立，結合根與系數的關系可得到+的表達式，然后利用函數與導數知識可求出的取值范圍。

（1）設動點，則，

由，則，

所以，

化簡得.

故點的軌跡的方程為.

（2）當直線的斜率不存在時，軸，

可設，

，

當直線的斜率為0時，軸，同理得，

當直線的斜率存在且不為0時，設為，則直線的方程為：，

設，由得:

，

則

所以，

則，

直線的方程為：，

同理可得：，

所以

令，則

，

，

由，得；，得；

在上單調遞減，在上單調遞增

，

又，故.

綜上所述，的取值范圍是.