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5.如圖所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長(zhǎng)均為a,D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn).
(1)求證:平面AB1D⊥平面ABB1A1;
(2)求平面AB1D與平面ABC所成二面角(銳角)的大�。�

分析 (1)取AB1的中點(diǎn)E,AB的中點(diǎn)F.連接DE、EF、CF.證明DE的平行線CF垂直平面ABB1A1,內(nèi)的相交直線AB,BB1,即可證明平面AB1D⊥平面ABB1A1;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求平面AB1D的一個(gè)法向量,以及平面ABC的一個(gè)法向量,利用向量的數(shù)量積求平面AB1D與平面ABC所成二面角(銳角)的大�。�

解答 證明:(1)取AB1的中點(diǎn)E,AB的中點(diǎn)F.
連接DE、EF、CF.
∵直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長(zhǎng)均為a,D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn),
∴EF=12BB1,CD=12BB1
∴四邊形CDEF為平行四邊形,∴DE∥CF.
又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱.
△ABC為正三角形.CF?平面ABC,
∴CF⊥BB1,CF⊥AB,而AB∩BB1=B,∴CF⊥平面ABB1A1
又DE∥CF,∴DE⊥平面ABB1A1
又DE?平面AB1D.所以平面AB1D⊥平面ABB1A1
解:(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(3a2,a2,0),C(0,a,0),D(0,a,a2)B1(0,0,a),B(0,0,0),
AB1=(-3a2,-a2,a),AD=(-3a2a2a2),
設(shè)n=(1,x,y)為平面AB1D的一個(gè)法向量.
{nAB1=3a2ax2+ay=0nAD=3a2+ax2+ay2=0,解得n=(1,33233),
平面ABC的一個(gè)法向量為m=(0,0,1).
設(shè)平面AB1D與平面ABC所成二面角(銳角)為θ,
則cosθ=|mn||m||n|=23383=22,
∴θ=\frac{π}{4}
∴平面AB1D與平面ABC所成二面角(銳角)的大小為\frac{π}{4}

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定,二面角及其度量,考查空間想象能力,計(jì)算能力,是中檔題.證明平面與平面垂直主要轉(zhuǎn)化為證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面垂直即可,而證明直線與平面垂直,只需證明此直線與平面圖內(nèi)的兩條相交直線垂直;求二面角的大小新教材主要要求學(xué)生掌握用空間向量的方法來求:第一步建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,并設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo);第二步分別求出二面角的兩個(gè)面的一個(gè)法向量;第三步代公式cos\left?{\overrightarrow m,\overrightarrow n}\right>=\frac{|\overrightarrow m•\overrightarrow n|}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}即可求得,注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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