Question

8．如圖所示，平面ABEF⊥平面ABCD，且四邊形ABEF為菱形，ABCD為直角梯形，∠BAD=∠CDA=90°，∠ABE=60°，AB=2AD=2CD=2，H是EF的中點
（1）求證：平面AHC⊥平面BCE
（2）求四棱錐C-ABEH的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理證明AH⊥平面ABCD，即可證明平面AHC⊥平面BCE；
（2）求出棱錐的底面積和高，結(jié)合棱錐的體積公式，即可求四棱錐C-ABEH的體積．

解答 解：（1）證明：連接AE，在菱形ABEF中，∠ABE=60°，
∴△AEF為等邊三角形，
∵H是EF的中點
∴AH⊥EF，
∵EF∥AB，∴AH⊥AB，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴AH⊥平面ABCD，
∴AH⊥BC，
在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2CD=2，∠BAD=∠CDA=90°，
∴AC=BC=$\sqrt{2}$，從而AC²+BC²=AB²，
則AC⊥BC，
∵AH∩AC=A，∴BC⊥平面AHC，
∵BC?平面BCE，
∴平面AHC⊥平面BCE
（2）過C作CG⊥AB于G，則CG⊥AH，
∵AB∩AH=A，
∴CG⊥平面ABEH，
∵AH=$\sqrt{3}$，
∴S_ABEH=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×（2+1）$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
四棱錐C-ABEH的體積V=$\frac{1}{3}×$$\frac{3\sqrt{3}}{2}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查面面垂直的判定以及四棱錐的體積的計算，根據(jù)相應(yīng)的判定定理結(jié)合四棱錐的體積公式是解決本題的關(guān)鍵．