Question

1．設(shè)f（x）=x²+bx+c（b、c∈R）．
（1）設(shè)m∈R，函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+m，x≥0}\\{f（x），x＜0}\end{array}\right.$為奇函數(shù)，求b+c的值；
（2）若f（x）=x沒有實數(shù)根，問：f（f（x））=x是否有實數(shù)根？并證明你的結(jié)論；
（3）若對一切θ∈R，有f（$\frac{2}{sinθ}$）≥0，且f（2+$\frac{1}{1+ta{n}^{2}θ}$的最大值為1，求b、c滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的定義，以及分段函數(shù)的解法得到a，b，c．
（2）由復合函數(shù)化簡，得到恒成立問題．
（3）考查恒成立以及最值問題，由單調(diào)性得到結(jié)論．

解答 （1）∵g（x）為奇函數(shù)
∴g（0）=0．∴m=0
∴當x≥0時，g（x）=-x²+2x
當x＜0時，f（-x）=-x²-2x，
∴f（x）=x²+2x
∴b=2，c=0
∴b+c=2
（2）f（f（x））=x，則f（x）=x
∵f（x）=x無實根
∴f（f（x））=x無實根
（3）∵sinθ∈[-1，1]，
∴$\frac{2}{sinθ}∈（-∞，-2]∪[2，+∞）$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）≥0}\\{f（2）≥0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{4-2b+c≥0}\\{4+2b+c≥0}\end{array}\right.$ 
∴c≥-4
又f（x）在（-∞，-2]上單調(diào)遞減，在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（3）=1
9+3b+c=1
∴b，c滿足c≥-4且3b+c=-8

點評 本題考查奇函數(shù)的定義，分段函數(shù)，復合函數(shù)化簡，恒成立以及最值問題．