Question

已知曲線C：

（1）當為何值時，曲線C表示圓；

（2）在（1）的條件下，若曲線C與直線交于M、N兩點，且，求的值.

（3）在（1）的條件下，設直線與圓交于，兩點，是否存在實數(shù)，使得以為直徑的圓過原點，若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

(1) (2)(3)存在,

【解析】

試題分析：

(1)根據(jù)圓的一般式可知, ,可得范圍;

(2)將(1)中圓變形為標準方程,可知存在于半徑中,所以根據(jù)圓中 ,先求出圓心到直線的距離,即可求半徑得.

(3)假設存在,則有,設出兩點坐標,可得.根據(jù)直線與圓的位置關系是相交,所以聯(lián)立后首先根據(jù)初步判斷的范圍,而后利用根與系數(shù)的關系用表示出,將其帶入解之,如有解且在的范圍內,則存在,否則不存在.

 

（1）由，得.

（2），即，

所以圓心,半徑，

圓心到直線的距離.

又,在圓中

，即，．

（3）假設存在實數(shù)使得以為直徑的圓過原點，則，所以.

設，則有,即.

由得，

，即，又由（1）知，

故

根據(jù)根與系數(shù)的關系知:

,

故存在實數(shù)使得以為直徑的圓過原點，

考點：圓的一般方程的判斷,直線與圓的位置關系的應用, 的使用.