精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
9.已知函數f(x)=ln$\frac{ex}{2}$-f′(1)x.
(1)求f′(2);
(2)求f(x)的單調區(qū)間和極值;
(3)設a≥1,函數g(x)=x2-3ax+2a2-5,若對于任意x0∈(0,1),總存在x1∈(0,2)使得f(x1)=g(x0)成立,求a的取值范圍.

分析 (1)對f(x)進行求導,得到導數f′(x),再令x=1代入f′(x),求得f′(1),即可求f′(2);
(2)對f(x)進行求導,求出極值點,利用導數求得函數的單調區(qū)間;
(3)函數g(x)=x2-3ax+2a2-5,若對于任意x0∈(0,1),總存在x1∈(0,2),使得f(x1)=g(x0)成立,將其轉化為g(x)的最值問題,只要g(x)的最大值小于等于0即可滿足.

解答 解:(I)∵f(x)=ln$\frac{ex}{2}$-f′(1)x,
∴f′(x)=$\frac{1}{x}$-f′(1),
令x=1,可得f′(1)=1-f′(1),解得f′(1)=$\frac{1}{2}$,
∴f′(2)=$\frac{1}{2}$-f′(1)=0.…(4分)
(2)由f′(x)=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$=0,得x=2,
∵x>0,∴當0<x<2時,f′(x)>0,當x>2時,f′(x)<0,
故f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,2),單調遞減區(qū)間為(2,+∞);
極大值為f(2)=0.…(8分)
(3)∵f(2)=0,
由(2)可知f(x)在(0,2)上的值域為:(-∞,0)
要使對任意x0∈(0,1),總存在x1∈(0,2),使得f(x1)=g(x0)成立,
可得函數g(x)的最大值小于等于0即可,
∵g(x)=x2-3ax+2a2-5,x∈(0,1),a≥1,
函數的對稱為x=$\frac{3a}{2}$≥$\frac{3}{2}$,開口向上,
g(x)在(0,1)上為減函數,g(x)<g(0),
所g(x)的最大值為g(0)=2a2-5,
∴g(0)=2a2-5≤0,a≥1,
∴1≤a≤$\frac{\sqrt{10}}{2}$.…(14分)

點評 本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、函數恒成立問題、利用導數求閉區(qū)間上函數的最值、不等式的解法等基礎知識,考查運算求解能力,考查數形結合思想、化歸與轉化思想.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

19.已知函數f(x)=x2-alnx-x(a≠0)
(1)若f(x)在x=$\frac{3}{4}$處取得極值,求實數a的值;
(2)若a>0,設A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)是函數f(x)圖象上的任意兩點,記直線AB的斜率為k,求證:f′($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$)>k.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:選擇題

20.0,1,2,3,4組成沒有重復數字的五位數,其中0,1不能相鄰的不同排法數為(  )
A.36B.24C.54D.27

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:選擇題

17.不等式3x+2y-6≤0表示的區(qū)域是(  )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

4.已知α∈($\frac{π}{4}$,$\frac{π}{2}$),sinα+cosα=$\frac{7}{5}$,求$\frac{sin(\frac{3π}{2}+α)tan(α-5π)cos(\frac{π}{6}-α)}{sin(\frac{π}{3}+α)}$的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:選擇題

14.已知函數f(x)=x3lnx+m有2個零點,則m的取值范圍是( 。
A.(-∞,$\frac{1}{{e}^{3}}$)B.($\frac{1}{{e}^{3}}$,+∞)C.(-∞,$\frac{1}{3e}$)D.($\frac{1}{3e}$,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

1.函數f(x)=$\frac{1}{3}$x3+|x-a|(x∈R,a∈R).
(1)若函數f(x)在R上為增函數,求a的取值范圍;
(2)已知函數f(x)在R上不單調.
①記f(x)在x∈[-1,1]上的最大值、最小值分別為M(a),m(a),求M(a)-m(a);
②設b∈R,若|f(x)+b|≤$\frac{2}{3}$對任意實數x∈[-1,1]都成立,求a-b的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:填空題

18.函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ為常數,A>0,ω>0,0<φ<π)的圖象如圖所示,則A=2,f(-$\frac{π}{3}$)=-2.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:選擇題

19.設a∈R,a2-1+(a+1)i是純虛數,其中i是虛數單位,則a=(  )
A.±1B.-1C.1D.0

查看答案和解析>>

同步練習冊答案