Question

9．已知函數f（x）=ln$\frac{ex}{2}$-f′（1）x．
（1）求f′（2）；
（2）求f（x）的單調區(qū)間和極值；
（3）設a≥1，函數g（x）=x²-3ax+2a²-5，若對于任意x₀∈（0，1），總存在x₁∈（0，2）使得f（x₁）=g（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對f（x）進行求導，得到導數f′（x），再令x=1代入f′（x），求得f′（1），即可求f′（2）；
（2）對f（x）進行求導，求出極值點，利用導數求得函數的單調區(qū)間；
（3）函數g（x）=x²-3ax+2a²-5，若對于任意x₀∈（0，1），總存在x₁∈（0，2），使得f（x₁）=g（x₀）成立，將其轉化為g（x）的最值問題，只要g（x）的最大值小于等于0即可滿足．

解答 解：（I）∵f（x）=ln$\frac{ex}{2}$-f′（1）x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-f′（1），
令x=1，可得f′（1）=1-f′（1），解得f′（1）=$\frac{1}{2}$，
∴f′（2）=$\frac{1}{2}$-f′（1）=0．…（4分）
（2）由f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$=0，得x=2，
∵x＞0，∴當0＜x＜2時，f′（x）＞0，當x＞2時，f′（x）＜0，
故f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，2），單調遞減區(qū)間為（2，+∞）；
極大值為f（2）=0．…（8分）
（3）∵f（2）=0，
由（2）可知f（x）在（0，2）上的值域為：（-∞，0）
要使對任意x₀∈（0，1），總存在x₁∈（0，2），使得f（x₁）=g（x₀）成立，
可得函數g（x）的最大值小于等于0即可，
∵g（x）=x²-3ax+2a²-5，x∈（0，1），a≥1，
函數的對稱為x=$\frac{3a}{2}$≥$\frac{3}{2}$，開口向上，
g（x）在（0，1）上為減函數，g（x）＜g（0），
所g（x）的最大值為g（0）=2a²-5，
∴g（0）=2a²-5≤0，a≥1，
∴1≤a≤$\frac{\sqrt{10}}{2}$．…（14分）

點評 本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、函數恒成立問題、利用導數求閉區(qū)間上函數的最值、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．