Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+1，x＜0}\\{|\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+1|，x≥0}\end{array}\right.$，方程f²（x）-af（x）+b=0（b≠0）有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則3a+b的取值范圍是（　�。�

• A． [6，11]
• B． [3，11]
• C． （6，11）
• D． （3，11）

Answer 1

分析 作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+1，x＜0}\\{|\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+1|，x≥0}\end{array}\right.$的圖象，從而利用數(shù)形結(jié)合知t²-at+b=0有2個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，且其中一個(gè)為1，從而可得-1-a＞0且-1-a≠1；從而解得．

解答 解：作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+1，x＜0}\\{|\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+1|，x≥0}\end{array}\right.$的圖象如下，

∵關(guān)于x的方程f²（x）-af（x）+b=0有6個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
令t=f（x），
∴t²-at+b=0有2個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，
其中一個(gè)為在（0，1）上，一個(gè)在（1，2）上；
故$\left\{\begin{array}{l}b＞0\\ 1-a+b＜0\\ 4-2a+b＞0\end{array}\right.$，
其對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下圖所示：

故當(dāng)a=3，b=2時(shí)，3a+b取最大值11，
當(dāng)a=1，b=0時(shí)，3a+b取最小值3，
則3a+b的取值范圍是（3，11）
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了線性規(guī)劃，難度中檔．