Question

（1+x+

1

x2

）¹⁰的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：將已知的二項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為：（1+x+

1

x2

）¹⁰=（1+x+

1

x2

）（1+x+

1

x2

）…（1+x+

1

x2

）（10個(gè)括號(hào)相乘），利用組合數(shù)的性質(zhì)，即可求得其展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

解答： 解：∵（1+x+

1

x2

）¹⁰=（1+x+

1

x2

）（1+x+

1

x2

）…（1+x+

1

x2

）（10個(gè)括號(hào)相乘），
∴每個(gè)括號(hào)中都提供常數(shù)項(xiàng)1，有1¹⁰種；
10個(gè)括號(hào)中有選兩個(gè)兩個(gè)提供x項(xiàng)，從剩余的8個(gè)括號(hào)中選一個(gè)提供

1

x2

，其余的括號(hào)中均提供1，有

C

2 10

•

C

1 8

種；
依此類推，
∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)為1¹⁰+

C

2 10

•

C

1 8

+

C

4 10

•

C

2 6

+

C

6 10

•

C

3 4

=1+360+3150+840=4351．
故答案為：4351．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，熟練應(yīng)用組合數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，突出考查轉(zhuǎn)化思想．