Question

9．已知函數(shù)$f（x）={sin^2}ωx+（2\sqrt{3}sinωx-cosωx）cosωx-λ$的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱(chēng)，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈（$\frac{1}{2}$，1）．
（1）求函數(shù)f （x）的最小正周期；
（2）若存在${x_0}∈[0，\frac{3π}{5}]$，使f（x₀）=0，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-λ，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性解得：2ωx-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，結(jié)合范圍ω∈（$\frac{1}{2}$，1），可得ω的值，利用周期公式即可得解．
（2）令f（x₀）=0，則λ=2sin（$\frac{5{x}_{0}}{3}$-$\frac{π}{6}$），結(jié)合范圍-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5{x}_{0}}{3}$-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得-$\frac{1}{2}$≤sin（$\frac{5{x}_{0}}{3}$-$\frac{π}{6}$）≤1，進(jìn)而得解λ的取值范圍．

解答 （本題滿(mǎn)分為12分）
解：（1）$f（x）={sin^2}ωx+（2\sqrt{3}sinωx-cosωx）cosωx-λ$
=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx-λ=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-λ，
∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱(chēng)，
∴解得：2ωx-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可得：ω=$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{3}$（k∈Z），
∵ω∈（$\frac{1}{2}$，1）．可得k=1時(shí)，ω=$\frac{5}{6}$，
∴函數(shù)f （x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{6π}{5}$…6分
（2）令f（x₀）=0，則λ=2sin（$\frac{5{x}_{0}}{3}$-$\frac{π}{6}$），
由0≤x₀≤$\frac{3π}{5}$，可得：-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5{x}_{0}}{3}$-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
則-$\frac{1}{2}$≤sin（$\frac{5{x}_{0}}{3}$-$\frac{π}{6}$）≤1，
根據(jù)題意，方程λ=2sin（$\frac{5{x}_{0}}{3}$-$\frac{π}{6}$）在[0，$\frac{3π}{5}$]內(nèi)有解，
∴λ的取值范圍為：[-1，2]…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，三角函數(shù)的周期公式，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．