Question

20．已知函數(shù)f（x）=xlnx+x，h（x）=bx+1
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）設(shè)g（x）=h（x）-$\frac{f（x）}{x}$，是否存在常數(shù)b，當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，函數(shù)g（x）的最小值為3？若存在，求出b的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=xlnx+x的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=lnx+2，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的極值．
（2）求出${g}^{'}（x）=b-\frac{1}{x}$=$\frac{bx-1}{x}$，由此根據(jù)b≤0，0＜$\frac{1}$≤e，$\frac{1}＞e$，利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出存在常數(shù)b=e²，當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，函數(shù)g（x）的最小值為3．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=xlnx+x的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=lnx+2，
令f′（x）=0，得lnx+2=0，解得x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）有極小值為f（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，無(wú)極大值．
（2）∵h(yuǎn)（x）=bx+1，
∴g（x）=h（x）-$\frac{f（x）}{x}$=bx-lnx（x∈（0，e]），
${g}^{'}（x）=b-\frac{1}{x}$=$\frac{bx-1}{x}$，
①當(dāng)b≤0時(shí)，g′（x）≤0，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，
g（x）_min=g（e）=bc-1=3，b=$\frac{4}{c}$（舍去），
②當(dāng)0＜$\frac{1}$≤e時(shí)，即b≥$\frac{1}{e}$時(shí)，在（0，$\frac{1}$）上，g′（x）＜0，
在（$\frac{1}$，+∞）上，g′（x）＞0，
∴g（x）_min=g（$\frac{1}$）=1+lnb=3，b=e²滿足條件．
②當(dāng)$\frac{1}＞e$時(shí)，即0＜b＜$\frac{1}{e}$時(shí)，g′（x）≤0，
∴g（x）在x∈（0，e]上單調(diào)遞減，
g（x）_min=g（e）=be-1=3，解得b=$\frac{4}{e}$（舍），
∴存在常數(shù)b=e²，當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，函數(shù)g（x）的最小值為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的極值的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、分類討論思想的合理運(yùn)用．