【題目】已知橢圓E:的焦距為2
,一條準線方程為x=
,A,B分別為橢圓的右頂點和上頂點,點P,Q在的橢圓上,且點P在第一象限.
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)若點P,Q關于坐標原點對稱,且PQ⊥AB,求四邊形ABCD的面積;
(3)若AP,BQ的斜率互為相反數(shù),求證:PQ斜率為定值.
【答案】(1)(2)
(3)見證明
【解析】
(1)由焦距得c,再由準線方程結合a2=b2+c2,可得橢圓方程;(2),由題意可得kPQ=2,即直線PQ方程為y=2x,與橢圓方程聯(lián)立解得|PQ|,可得四邊形ABCD的面積;(3)設直線AP的斜率為k(k<0),則直線AP方程y=k(x-2),與橢圓方程聯(lián)立得P點坐標,利用直線AN斜率與AM斜率互為相反數(shù),將k換為-k,可求N的坐標,再利用斜率計算公式即可得出PQ斜率為定值.
(1)由題意可得:,
,
,
解得:,
,
.
橢圓
的標準方程為:
.
(2) ,
點
關于坐標原點對稱,且
,
.可得直線
的方程為:
.
聯(lián)立,解得
,
.
.
四邊形
的面積
.
(3)證明:設 ,
.
設直線的斜率為
,
,則直線方程為:
,
聯(lián)立,化為:
,
,解得
,
.
的斜率互為相反數(shù),
直線
的斜率為
,直線方程為:
.
聯(lián)立,化為:
,
,
.
斜率
為定值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BC= ,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA1 .
(1)求證:CD=C1D;
(2)求二面角A1﹣B1D﹣P的平面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣9x,函數(shù)g(x)=3x2+a.
(1)已知直線l是曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線,且l與曲線y=g(x)相切,求a的值;
(2)若方程f(x)=g(x)有三個不同實數(shù)解,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(x2+ax+a).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:當a≥4時,函數(shù)f(x)存在最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓與
軸相切于點
,且被
軸所截得的弦長為
,圓心
在第一象限.
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)若點是直線
上的動點,過
作圓
的切線,切點為
,當△
的面積最小時,求切線
的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求函數(shù)
的極值;
(Ⅱ)討論的單調(diào)性;
(Ⅲ)若對任意的,恒有
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一次數(shù)學競賽中,30名參賽學生的成績(百分制)的莖葉圖如圖所示:若將參賽學生按成績由高到低編為1﹣30號,再用系統(tǒng)抽樣法從中抽取6人,則其中抽取的成績在[77,90]內(nèi)的學生人數(shù)為( )
A.2
B.3
C.4
D.5
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