分析 (1)求出F(x)的定義域,求得導(dǎo)數(shù),判斷符號(hào),即可得到所求單調(diào)區(qū)間;
(2)由題意可得該四邊形為平行四邊形等價(jià)于f(m)-g(m)=f(n)-g(n)且m>0,n>0.當(dāng)a=-e時(shí),F(x)=f(x)−g(x)=ex+ex(x>0),求出導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)性,確定0<m<1<n,或0<n<1<m,即可得證.
解答 解:(1)F(x)=ex−ax,其定義域?yàn)椋?∞,0)∪(0,+∞)
而F′(x)=ex+ax2,
當(dāng)a>0時(shí),F(xiàn)'(x)>0,
故F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),(0,+∞),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)證明:因?yàn)橹本€x=m與x=n平行,
故該四邊形為平行四邊形等價(jià)于f(m)-g(m)=f(n)-g(n)且m>0,n>0.
當(dāng)a=-e時(shí),F(x)=f(x)−g(x)=ex+ex(x>0),
則F′(x)=ex−ex2.令g(x)=F′(x)=ex−ex2,
則 g′(x)=ex+2ex3>0,
故F′(x)=ex−ex2在(0.+∞)上單調(diào)遞增;
而F′(1)=e−e12=0,
故x∈(0,1)時(shí)F'(x)<0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞減;x∈(1,+∞)時(shí)F'(x)>0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞增;
而F(m)=F(n),
故0<m<1<n,或0<n<1<m,
所以(m-1)(n-1)<0.
點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性,考查構(gòu)造函數(shù)法和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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A. | 3,3 | B. | -3,3 | C. | 3,3i | D. | -3,3i |
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A. | 18 | B. | 14 | C. | 34 | D. | 78 |
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A. | [23,+∞) | B. | [23,1] | C. | [1,+∞) | D. | [0,1] |
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