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9.已知函數(shù)fx=exgx=ax,a為實(shí)常數(shù).
(1)設(shè)F(x)=f(x)-g(x),當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)a=-e時(shí),直線x=m、x=n(m>0,n>0)與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象一共有四個(gè)不同的交點(diǎn),且以此四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形恰為平行四邊形.
求證:(m-1)(n-1)<0.

分析 (1)求出F(x)的定義域,求得導(dǎo)數(shù),判斷符號(hào),即可得到所求單調(diào)區(qū)間;
(2)由題意可得該四邊形為平行四邊形等價(jià)于f(m)-g(m)=f(n)-g(n)且m>0,n>0.當(dāng)a=-e時(shí),Fx=fxgx=ex+exx0,求出導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)性,確定0<m<1<n,或0<n<1<m,即可得證.

解答 解:(1)Fx=exax,其定義域?yàn)椋?∞,0)∪(0,+∞)
Fx=ex+ax2,
當(dāng)a>0時(shí),F(xiàn)'(x)>0,
故F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),(0,+∞),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.                       
(2)證明:因?yàn)橹本€x=m與x=n平行,
故該四邊形為平行四邊形等價(jià)于f(m)-g(m)=f(n)-g(n)且m>0,n>0.
當(dāng)a=-e時(shí),Fx=fxgx=ex+exx0,
Fx=exex2.令gx=Fx=exex2,
則 gx=ex+2ex30,
Fx=exex2在(0.+∞)上單調(diào)遞增;                                      
F1=ee12=0,
故x∈(0,1)時(shí)F'(x)<0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞減;x∈(1,+∞)時(shí)F'(x)>0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞增;
而F(m)=F(n),
故0<m<1<n,或0<n<1<m,
所以(m-1)(n-1)<0.

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性,考查構(gòu)造函數(shù)法和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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