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18.已知函數(shù)f(x)=23sin(12ωx)•cos(12ωx)+2cos212ωx)(ω>0),且函數(shù)f(x)的最小正周期為π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[0,\frac{π}{2}]上的最大值和最小值.

分析 (Ⅰ)利用二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,利用函數(shù)的周期即可求ω的值;
(Ⅱ)通過x的范圍[0,\frac{π}{2}],求出相位的范圍,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最大值和最小值

解答 解:(Ⅰ)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2\sqrt{3}sin(\frac{1}{2}ωx)•cos(\frac{1}{2}ωx)+2cos2\frac{1}{2}ωx),
所以f(x)=\sqrt{3}sinωx+cosωx+1=2sin(ωx+\frac{π}{6})+1
又f(x)的最小正周期為\pi,所以\pi=\frac{2π}{ω},即\omega=2.---------------6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)=2sin(2x+\frac{π}{6})+1,
因?yàn)?0≤x≤\frac{π}{2},所以\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}. 由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2},即x=\frac{π}{6} 時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,最大值為f(\frac{π}{6} )=3; 當(dāng)2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6} 時(shí),即x=\frac{π}{2} 時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值,最小值為f(\frac{π}{2}$ )=0.------13分

點(diǎn)評(píng) 本題考查我不就是廣東應(yīng)用,三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,考查計(jì)算能力.

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