Question

17．已知不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≥0}\\{x-y≤0}\\{y+x-k≤0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域的面積為$\frac{4}{3}$，則$\frac{y}{x+1}$的取值范圍為[0，$\frac{8}{7}$]．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，然后代入三角形面積公式求得實數(shù)k的值，再根據(jù)$\frac{y}{x+1}$的幾何意義為點N（-1，0）與P（x，y）兩點連線的斜率，即可求出答案．

解答 解：畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≥0}\\{x-y≤0}\\{y+x-k≤0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域，
如圖所示，
由題意可知k＞0，可行域的三個頂點為A（0，0），
B（$\frac{k}{2}$，$\frac{k}{2}$），C（$\frac{k}{3}$，$\frac{2k}{3}$），
∵AB⊥BC，|AB|=$\frac{\sqrt{2}k}{2}$，
點C到直線AB的距離為$\frac{\sqrt{2}k}{6}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}k}{2}$×$\frac{\sqrt{2}k}{6}$=$\frac{4}{3}$，
解得k=4，
則B（2，2），C（$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$），
又$\frac{y}{x+1}$的幾何意義為點N（-1，0）與P（x，y）兩點連線的斜率，
∴k_NA≤k≤k_NC，
∵k_NA=0，k≤k_NC=$\frac{8}{7}$，
∴$\frac{y}{x+1}$的取值范圍為[0，$\frac{8}{7}$]，
故答案為：[0，$\frac{8}{7}$]．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．