Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x}{{|{lnx}|}}$，若關(guān)于x的方程f²（x）-（m+1）f（x）+m=0恰好有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． （0，e）
• B． （1，e）
• C． （e，2e）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，作出f（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)方程可得f（x）=1或f（x）=m，根據(jù)圖象可知f（x）=m有三解，從而得出m的范圍．

解答 解：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=$\frac{x}{lnx}$，f′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
∴f（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=e時(shí)，f（x）取得極小值f（e）=e，
同理可得f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

由f²（x）-（m+1）f（x）+m=0得f（x）=1或f（x）=m，
由圖象可知f（x）=1只有1解，
∴f（x）=m有三個(gè)解，∴m＞e．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了方程的解與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的判斷與極值計(jì)算，屬于中檔題．