Question

已知點E（m，0）為拋物線y²=4x內的一個定點，過E作斜率分別為k₁、k₂的兩條直線交拋物線于點A、B、C、D，且M、N分別是AB、CD的中點．
（1）若m=1，k₁k₂=-1，求△EMN面積的最小值；
（2）若k₁+k₂=1，求證：直線MN過定點．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）不妨設AB的斜率k₁=k＞0，求出CD的斜率k₂=-

1

k

＜0，利用點斜式方程求出直線AB、CD的方程，與拋物線方程聯立消x得關于y的一元二次方程，根據韋達定理即可求得中點M、N的坐標，利用點斜式方程求出直線MN的方程，再求出直線MN與x軸的交點坐標，可得△EMN的面積，利用基本不等式求△MCD面積的最小值；
（2）不妨設AB的斜率k₁=k，求出CD的斜率k₂=1-m，利用點斜式方程求出直線AB、CD的方程，與拋物線方程聯立消x得關于y的一元二次方程，根據韋達定理即可求得中點M、N的坐標，利用點斜式方程求出直線MN的方程，化簡后求出直線過的定點坐標．

解答： （1）解：由題意不妨設AB的斜率k₁=k＞0，則CD的斜率k₂=-

1

k

＜0，
又m=1，則點E（1，0），
所以AB的直線方程是：y=k（x-1），CD的直線方程是y=-

1

k

（x-1），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) y2=4x

得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
則x1+x2=

2k2+4

k2

=2+

4

k2

，x₁x₂=1，
所以y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（2+

4

k2

）-2k=

4

k

，
因為M是AB的中點，所以點M（1+

2

k2

，

2

k

），
同理可得，點N（1+2k²，-2k），
所以直線MN的方程是：y+2k=

2 k +2k

1+ 2 k2 -1-2k2

（x-1-2k²），
即y+2k=

1 k +k

1 k2 -k2

（x-1-2k²），令y=0，得x=3，
則直線MN與x軸的交點是（3，0），
所以△EMN面積S=

1

2

（3-1）（

2

k

+2k）=

2

k

+2k≥2

2 k ×2k

=4，
當且僅當

2

k

=2k時取等號，此時k=1，
所以△EMN面積的最小值是4；
（2）證明：由題意知，k₁+k₂=1，
不妨設AB的斜率k₁=k，則CD的斜率k₂=1-k，
所以AB的直線方程是：y=k（x-m），CD的直線方程是y=（1-k）（x-m），
設A（x₁′，y₁′），B（x₂′，y₂′），
由

y=k(x-m) y2=4x

得，k²x²-（2k²m+4）x+k²m²=0，
則x1′+x2′=

2k2m+4

k2

=2m+

4

k2

，x₁′x₂′=m²，
所以y₁′+y_2′=k（x₁′-m）+k（x₂′-m）=k（2m+

4

k2

）-2km=

4

k

，
因為M是AB的中點，所以點M（m+

2

k2

，

2

k

），
同理可得，點N（m+

2

(1-k)2

，

2

1-k

），
所以直線MN的方程是：y-

2

k

=

2 k - 2 1-k

2 k2 - 2 (1-k)2

（x-m-

2

k2

），
化簡得，y=（k-k²）（x-m）+2，令x=m，得y=2，
所以直線MN過定點（m，2）．

點評：本題主要考查拋物線的幾何性質，直線方程的求解，以及直線與拋物線的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力．