Question

6．已知函數(shù)$f（x）=（\frac{x^2}{2}-kx）lnx+\frac{x^2}{4}$．
（Ⅰ）若f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)k的值；
（Ⅱ）若f（x）的極小值大于0，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出k的值即可；
（Ⅱ）通過(guò)討論k的范圍，判斷f′（x）的符號(hào)，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，求出k的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意可知f'（x）=（x-k）（lnx+1），令f'（x）=0，可得x₁=k，${x_2}=\frac{1}{e}$．
若x₁≠x₂，則在x₁，x₂之間存在一個(gè)區(qū)間，使得f'（x）＜0，不滿足題意．
因此x₁=x₂，即$k=\frac{1}{e}$．
（Ⅱ）當(dāng)$k＜\frac{1}{e}$時(shí)，若k＞0，則f'（x）在$（k，\frac{1}{e}）$上小于0，在$（\frac{1}{e}，+∞）$上大于0，
若k≤0，則f'（x）在$（0，\frac{1}{e}）$上小于0，在$（\frac{1}{e}，+∞）$上大于0，
因此$x=\frac{1}{e}$是極小值點(diǎn)，$f（\frac{1}{e}）=\frac{k}{e}-\frac{1}{{4{e^2}}}＞0$，解得$k＞\frac{1}{4e}$．
當(dāng)$k＞\frac{1}{e}$時(shí)，f'（x）在$（\frac{1}{e}，k）$上小于0，在（k，+∞）上大于0，
因此x=k是極小值點(diǎn)，$f（k）=\frac{k^2}{4}（1-2lnk）＞0$，解得$k＜\sqrt{e}$．
當(dāng)$k=\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）沒(méi)有極小值點(diǎn)，不符合題意．
綜上可得$k∈（\frac{1}{4e}，\frac{1}{e}）∪（\frac{1}{e}，\sqrt{e}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．