Question

20．過直線x-2y+13=0上一動點A（A不在y軸上）作拋物線y²=8x的兩條切線，M，N為切點，直線AM，AN分別與y軸交于點B，C．
（1）證明直線MN恒過一定點；
（2）證明△ABC的外接圓恒過一定點，并求該圓半徑的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用切線方程都過A，求出直線MN的方程，結(jié)合A在直線x-2y+13=0上，即可證明直線MN恒過一定點；
（2）確定A，B，C，F(xiàn)四點共圓，AF為直徑，即可求解．

解答 （1）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₀，y₀），
切線AM的方程為y₁y=4（x+x₁），AN的方程為y₂y=4（x+x₂），
∵兩條切線都過A，
∴M，N在y₀y=4（x+x₀）上，
∵x₀-2y₀+13=0，
∴聯(lián)立可得4（x-13）=y₀（y-8），
∴直線MN恒過一定點（13，8）；
（2）由題意，拋物線的焦點坐標為F（2，0），切線AM的方程為y₁y=4（x+x₁），B（0，$\frac{4{x}_{1}}{{y}_{1}}$），
∴k_BF=-$\frac{2{x}_{1}}{{y}_{1}}$，
∵k_BA=$\frac{4}{{y}_{1}}$，
∴k_BFk_BA=-$\frac{8{x}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}}$=-1，
∴BF⊥BA．
同理可得CF⊥CA，
∴A，B，C，F(xiàn)四點共圓，AF為直徑，
∴△ABC的外接圓恒過一定點F（2，0），
由AF的最小值=點F到直線x-2y+13=0的距離d=3$\sqrt{5}$，可得圓半徑的最小值為$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$．

點評 本題考查直線過定點，考查△ABC的外接圓恒過一定點，考查學生分析解決問題的能力，確定拋物線的切線方程是關(guān)鍵．