Question

10．如圖，在周長為8的矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，DA的中點．將矩形ABCD沿著線段EF折起，使得∠DFA=60°．設G為AF上一點，且滿足CF∥平面BDG．

（Ⅰ）求證：EF⊥DG；
（Ⅱ）求證：G為線段AF的中點；
（Ⅲ）求線段CG長度的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由E，F(xiàn)分別為BC，DA的中點，可證EF⊥FD，EF⊥FA，從而EF⊥平面DFA，即可得證EF⊥DG．
（Ⅱ）由AB∥EF∥CD，易證四邊形ABCD為平行四邊形．連接AC，設AC∩BD=O，則AO=CO，又由CF∥平面BDG，利用線面平行的性質(zhì)可證CF∥OG，可證OG為中位線，即G為線段AF的中點．
（Ⅲ）由已知可得△DFA為等邊三角形，且DG⊥FA，又EF⊥DG，可得DG⊥平面ABEF，設BE的中點為H，連接GH，CH，可得CG²=GH²+CH²，設DF=x，由題意得CG²=（4-2x）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）²=$\frac{19}{4}$x²-16x+16，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解線段CG長度的最小值．

解答 （本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：因為在折起前的矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，DA的中點，
所以EF⊥FD，EF⊥FA，
又因為FD∩FA=F，
所以EF⊥平面DFA．…（2分）
又因為DG?平面DFA，
所以EF⊥DG．…（4分）
（Ⅱ）證明：因為在折起前的矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，DA的中點，
所以在立體圖中，AB∥EF∥CD．
即在立體圖中，四邊形ABCD為平行四邊形．
連接AC，設AC∩BD=O，則AO=CO．…（6分）
又因為CF∥平面BDG，CF?平面ACF，平面ACF∩平面BDG=OG，
所以CF∥OG，
所以在△ACF中，OG為中位線，
即G為線段AF的中點．…（9分）
（Ⅲ）解：因為G為線段AF的中點，∠DFA=60°．
所以△DFA為等邊三角形，且DG⊥FA，
又因為EF⊥DG，EF∩FA=F，
所以DG⊥平面ABEF．
設BE的中點為H，連接GH，CH，
易得四邊形DGHC為平行四邊形，
所以CH⊥平面ABEF，
所以CG²=GH²+CH²．…（11分）
設DF=x，由題意得CH=DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，GH=CD=4-2x，
所以CG²=（4-2x）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）²=$\frac{19}{4}$x²-16x+16，…（13分）
所以當x=$\frac{32}{19}$時，CG²_min=$\frac{48}{19}$．
所以線段CG長度的最小值為$\frac{4\sqrt{57}}{19}$．…（14分）

點評 本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用，熟練掌握空間直線與平面位置關系的定義、判定定理、性質(zhì)定理是解答本題的關鍵，屬于中檔題．