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6.若函數(shù)f(x)=13(a-1)x3+12ax2-14+15在其定義域內(nèi)有極值點(diǎn),則a的值為(-∞,152)∪(1+52,+∞).

分析 函數(shù)f(x)=13(a-1)x3+12ax2-14x+15有極值,等價(jià)于f′(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,由此能求出a的取值范圍.

解答 解:∵函數(shù)f(x)=13(a-1)x3+12ax2-14x+15,
∴f′(x)=(a-1)x2+ax-14
∵函數(shù)f(x)=13(a-1)x3+12ax2-14x+15在其定義域內(nèi)有極值點(diǎn),
當(dāng)a≠1時(shí),f′(x)=(a-1)x2+ax-14=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
∴△=a2-4×(a-1)×(-14)>0并且a-1≠0,
解得a>1或1>a>1+52或a<152,
當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)=12x2-14x+15是二次函數(shù),滿足題意.
∴a的取值范圍為(-∞,152)∪(1+52,+∞).
故答案為:(-∞,152)∪(1+52,+∞).

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的極大值和極小值的求法,考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅱ)當(dāng)a<0時(shí),若函數(shù)f′(x)與g(x)的圖象都與直線l相切于點(diǎn)P(x0,y0),求實(shí)數(shù)x0的值;
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