Question

12．設命題p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命題q：實數(shù)x滿足x²+2x-8＞0
（1）若a=1，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若￢q是￢p的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）命題p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a，把a=1代入可得解集．命題q：實數(shù)x滿足x²+2x-8＞0，解得x＞2或x＜-4．由于p∧q為真，可得p與q都為真命題．
（2）￢q是￢p的充分不必要條件，可得p是q的充分不必要條件，即可得出．

解答 解：（1）命題p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a，由于a=1，
∴1＜x＜3．
命題q：實數(shù)x滿足x²+2x-8＞0，解得x＞2或x＜-4．
∵p∧q為真，
∴p與q都為真命題．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{x＞2或x＜-4}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3．
∴實數(shù)x的取值范圍是2＜x＜3．
（2）∵￢q是￢p的充分不必要條件，
∴p是q的充分不必要條件，
∴a≥2或3a≤-4，
解得a≥2，或a$≤-\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了不等式的解法及其性質、集合運算性質、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．