Question

19．圓O上兩點C，D在直徑AB的兩側(cè)（如圖甲），沿直徑AB將圓O折起形成一個二面角（如圖乙），若∠DOB的平分線交弧$\widehat{BD}$于點G，交弦BD于點E，F(xiàn)為線段BC的中點．

（Ⅰ）證明：平面OGF∥平面CAD．
（Ⅱ）若二面角C-AB-D為直二面角，且AB=2，∠CAB=45°，∠DAB=60°，求四面體FCOG的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：平面OGF∥平面CAD，只需要證明OG∥平面ACD，證明OG∥AD即可；
（Ⅱ）過G作GH⊥AB，垂足為H，證明線段GH長即為三棱錐G-COF的高，利用V_{四面體FCOG}=V_{三棱錐G-COF}，即可求四面體FCOG的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵OF為△ABC的一條中位線，
∴OF∥AC．
∵OF?平面ACD，AC?平面ACD，
∴OF∥平面ACD …..…（2分）
∵OG為∠DOB的平分線，∴OG⊥BD．
又可知AD⊥BD，∴OG∥AD…..…（4分）
∵OG?平面ACD，AD?平面ACD，∴OG∥平面ACD…（5分）
∵OG，OF為平面OGF內(nèi)的兩條相交直線，∴平面OGF∥平面CAD…..…（6分）
（Ⅱ）解：過G作GH⊥AB，垂足為H，
又二面角C-AB-D為直二面角，即平面CAB⊥平面DAB．
由已知得O為Rt△ABC斜邊AB的中點，∴CO⊥AB，則CO⊥平面DAB，
∴CO⊥GH，∴GH⊥平面CAB，
∴線段GH長即為三棱錐G-COF的高…（8分）
又Rt△DAB中，AB=2，∠DAB=60°，∴AD=1，
又OG∥AD，OG=1，OA=1，∴ADGO為菱形，∠AOG=120°，
∴△GOB是邊長為1的正三角形，∴GH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$…（10分）
又可知△COF為等腰直角三角形，∴${S}_{△COF}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{4}$…（11分）
∴V_{四面體FCOG}=V_{三棱錐G-COF}=$\frac{1}{3}×{S}_{△COF}×GH=\frac{\sqrt{3}}{24}$…（12分）

點評 本題考查線線、線面、面面關(guān)系，考查面面、線面平行的判定及幾何體高與體積的計算，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力及分析探究問題和解決問題的能力．