Question

10．已知函數(shù)y=f（x）對任意的x∈（0，π）滿足f′（x）sinx＞f（x）cosx（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則下列不等式錯誤的是（　�。�

• A． $f（\frac{π}{6}）＜f（\frac{5}{6}π）$
• B． $\sqrt{3}f（\frac{π}{6}）＞f（\frac{π}{3}）$
• C． $\sqrt{3}f（\frac{π}{2}）＞2f（\frac{π}{3}）$
• D． $2f（\frac{π}{6}）＜f（\frac{π}{2}）$

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，x∈（0，π），可得函數(shù)F（x）在x∈（0，π）上單調(diào)遞增，檢驗即可．

解答 解：令F（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，x∈（0，π），
則F′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{{sin}^{2}x}$，
∵f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，
∴F′（x）＞0，
∴F（$\frac{π}{6}$）＜F（$\frac{π}{3}$），F(xiàn)（$\frac{π}{6}$）＜F（$\frac{5π}{6}$），
F（$\frac{π}{2}$）＞F（$\frac{π}{3}$），F(xiàn)（$\frac{π}{6}$）＜F（$\frac{π}{2}$），
故B選項錯誤，
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用單調(diào)性比較大小，熟記商的導(dǎo)數(shù)公式，以之構(gòu)造出相應(yīng)函數(shù)是解答的關(guān)鍵，屬中檔題．