【題目】已知點，點為動點，以為直徑的圓內切于.

（1）證明為定值，并求點的軌跡的方程；

（2）過點的直線與交于兩點，直線過點且與垂直，與交于兩點，為的中點，求的面積的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由已知及橢圓的定義可得到點的軌跡方程；（2）設直線的方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關于的一元二次方程，由根與系數(shù)關系表達三角形的底和高代入三角形的面積公式利用函數(shù)求最值.

（1）設以為直徑的圓的圓心為，半徑為，則，

由

所以，為定值，

由

所以，點的軌跡為以，為焦點的橢圓；

則，，

所以，點的軌跡方程為：；

（2）設

由，消去得，

易得，△．

為的中點，，

設，，，，

又到的距離

所以，

設，則

所以，

記，在，上遞增，（1），

所以，的最大值為，即，的面積的最大值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為抗擊新型冠狀病毒，普及防護知識，某校開展了“疫情防護”網(wǎng)絡知識競賽活動.現(xiàn)從參加該活動的學生中隨機抽取了100名學生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為6組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求的值，并估計這100名學生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（2）在抽取的100名學生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”.請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關”？

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計

男生

40

女生

50

合計

100

參考公式及數(shù)據(jù)：.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓E：（）過點，其心率等于.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）若A，B分別是橢圓E的左，右頂點，動點M滿足，且橢圓E于點P.

①求證：為定值：

②設與以為直徑的圓的另一交點為Q，求證：直線經(jīng)過定點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知是直角梯形，且，平面平面，， ， ，是的中點.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的單調區(qū)間；

（2）若，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】中國在歐洲的某孔子學院為了讓更多的人了解中國傳統(tǒng)文化，在當?shù)嘏e辦了一場由當?shù)厝藚⒓拥闹袊鴤鹘y(tǒng)文化知識大賽，為了了解參加本次大賽參賽人員的成績情況，從參賽的人員中隨機抽取名人員的成績（滿分100分）作為樣本，將所得數(shù)據(jù)進行分析整理后畫出頻率分布直方圖如下圖所示，已知抽取的人員中成績在[50,60)內的頻數(shù)為3.

（1）求的值和估計參賽人員的平均成績（保留小數(shù)點后兩位有效數(shù)字）；

（2）已知抽取的名參賽人員中，成績在[80,90)和[90,100]女士人數(shù)都為2人，現(xiàn)從成績在[80,90)和[90,100]的抽取的人員中各隨機抽取1人，求這兩人恰好都為女士的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，過焦點的斜率存在的直線與拋物線交于，，且．

（1）求拋物線的方程；

（2）已知與拋物線交于點（異于原點），過點作斜率小于的直線交拋物線于，兩點（點在，之間），過點作軸的平行線，交于，交于B，與的面積分別為，，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間（為自然對數(shù)的底數(shù)）上有唯一的零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若在（為自然對數(shù)的底數(shù)）上存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設盒子中裝有6個紅球，4個白球，2個黑球，且規(guī)定：取出一個紅球得分，取出一個白球得分，取出一個黑球得分，其中，，都為正整數(shù)．

（1）當，，時，從該盒子中依次任�。ㄓ蟹呕兀颐壳蛉〉降臋C會均等）2個球，記隨機變量為取出此2球所得分數(shù)之和，求的分布列；

（2）當時，從該盒子中任�。壳蛉〉降臋C會均等）1個球，記隨機變量為取出此球所得分數(shù)，若，，求和．

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