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【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥BD,底面ABCD是邊長為a的菱形,∠BAD=120°,PA=b,AC與BD交于點O,M為OC的中點.

(1)求證:平面PAC⊥平面ABCD;
(2)若∠PAC=90°,二面角O﹣PM﹣D的正切值為 ,求a:b的值.

【答案】
(1)證明:因為底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD,

又PA⊥BD,PA∩AC=A,

所以BD⊥面PAC,

又因為 PD面ABCD,

所以 平面PAC⊥平面ABCD


(2)解:由∠PAC=90°可知PA⊥AC,

又由(1)可知平面PAC⊥平面ABCD

平面PAC∩平面ABCD=AC,

所以 PA⊥平面ABCD,

故如圖,

以A為坐標原點,AD,AP所在直線分別為y,z軸建立空間直角坐標系,

則P(0,0,b),D(0,a,0),M( , ,0),O( ,0)

從而 =(0,a,﹣b), =( a, ,﹣b),

=(﹣ , ,0),

因為BD⊥面PAC,所以平面PMO的一個法向量為 =(﹣ , ,0),

設平面PMD的法向量為 =(x,y,z),

, ,得

,

令y=b,得x= ,z=a,即 ,

的夾角為θ,則二面角O﹣PM﹣D的大小與θ相等,

,得

化簡得 4b=3a,即a:b=4:3


【解析】(1)推導出AC⊥BD,PA⊥BD,由此能證明平面PAC⊥平面ABCD.(2)以A為坐標原點,AD,AP所在直線分別為y,z軸建立空間直角坐標系,利用利用向量法能求出a:b的值.

練習冊系列答案
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年份編號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

人數

3

5

8

11

13

14

17

22

30

31

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