Question

18．已知函數(shù)f（x）=|sinx|+cosx，現(xiàn)有如下幾個(gè)命題：
①該函數(shù)為偶函數(shù)；
②該函數(shù)最小正周期為$\frac{π}{2}$；
③該函數(shù)值域?yàn)?[-1，\sqrt{2}]$；
④若定義區(qū)間（a，b）的長(zhǎng)度為b-a，則該函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間長(zhǎng)度的最大值為$\frac{3π}{4}$．
其中正確命題為①③④．

Answer 1

分析 將函數(shù)f（x）表示為分段函數(shù)形式，①根據(jù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷，②利用周期性的定義進(jìn)行排除，③結(jié)合三角函數(shù)的有界性進(jìn)行求解，④求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間進(jìn)行判斷即可．

解答 解：當(dāng)sinx≥0，即2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，此時(shí)f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
當(dāng)sinx＜0，即2kπ-π≤x≤2kπ，k∈Z，此時(shí)f（x）=-sinx+cosx=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$），
①f（-x）=|sin（-x）|+cosx=|sinx|+cosx=f（x），則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故①正確，
②f（x+$\frac{π}{2}$）=|sin（x+$\frac{π}{2}$）|+cos（x+$\frac{π}{2}$）=|cosx|-sinx≠f（x），則函數(shù)最小正周期為$\frac{π}{2}$錯(cuò)誤，故②錯(cuò)誤，
當(dāng)2kπ≤x≤2kπ+π時(shí)，2kπ+$\frac{π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{5π}{4}$，此時(shí)$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
當(dāng)2kπ-π≤x≤2kπ時(shí)，2kπ$-\frac{3π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{4}$，此時(shí)$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
綜上f（x））∈[-1，$\sqrt{2}$]，即函數(shù)的值域?yàn)閇-1，$\sqrt{2}$]，故③正確，
④作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：函數(shù)單調(diào)遞增的最大區(qū)間在函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$），
由2kπ-π≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ，k∈Z得2kπ-$\frac{5π}{4}$≤x≤2kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z
∵2kπ-π≤x≤2kπ，∴此時(shí)2kπ-π≤x≤2kπ-$\frac{π}{4}$，即此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-π，2kπ-$\frac{π}{4}$]，
當(dāng)k=0時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為[-π，-$\frac{π}{4}$]，此時(shí)區(qū)間長(zhǎng)度為-$\frac{π}{4}$-（-π）=$\frac{3π}{4}$，
故④正確，

故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與三角函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，利用絕對(duì)值的性質(zhì)將函數(shù)表示成分段函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．