【題目】在等腰梯形中，，，，點為的中點.現(xiàn)將沿線段翻折，得四棱錐，且二面角為直二面角.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接，取中點，連接，，通過等邊三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)線面垂直判定定理得到平面，故而可得結(jié)論；（2）由面面垂直性質(zhì)定理可得平面，求出平面的法向量為，同時是平面的一個法向量，求出法向量夾角的余弦值，進(jìn)而可得結(jié)果.

（1）如圖連接，易知，均為正三角形，取中點，

連接，，則，.

又，平面，

平面，

又平面，所以.

（2）因為二面角為直二面角，所以平面平面，

又因為平面平面，且，所以平面.

又因為，故以點為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，，.

所以，.

設(shè)平面的法向量為.由得

取，所以.

又因為直線平面，所以是平面的一個法向量，

所以.

又因為二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若，則當(dāng)時，函數(shù)的圖象是否總在直線上方？請寫出判斷過程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一個口袋中裝有9個大小形狀完全相同的球，球的編號分別為1，2，…，9，隨機摸出兩個球，則兩個球的編號之和大于9的概率是______（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司對4月份員工的獎金情況統(tǒng)計如下：

獎金（單位：元）

8000

5000

4000

2000

1000

800

700

600

500

員工（單位：人）

1

2

4

6

12

8

20

5

2

根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，可得該公司4月份員工的獎金：①中位數(shù)為800元；②平均數(shù)為1373元；③眾數(shù)為700元，其中判斷正確的個數(shù)為（ ）

A.0B.1C.2D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某學(xué)校的特長班有50名學(xué)生，其中有體育生20名，藝術(shù)生30名，在學(xué)校組織的一次體檢中，該班所有學(xué)生進(jìn)行了心率測試，心率全部介于50次/分到75次/分之間，現(xiàn)將數(shù)據(jù)分成五組，第一組[50,55)，第二組[55,60)，…，第五組[70,75]，按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示．因為學(xué)習(xí)專業(yè)的原因，體育生常年進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉，藝術(shù)生則很少進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉，若前兩組的學(xué)生中體育生有8名．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖及題設(shè)數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表.

心率小于60次/分

心率不小于60次/分

合計

體育生

20

藝術(shù)生

30

合計50

(2)根據(jù)(1)中表格數(shù)據(jù)計算可知，________(填“有”或“沒有”)99.5%的把握認(rèn)為“心率小于60次/分與常年進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉有關(guān)”．

P(K2≥k0)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列命題中正確的是__________．（填上所有正確命題的序號）

①若， ，則； ②若， ，則；

③若， ，則； ④若， ， ， ，則．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列，均為各項都不相等的數(shù)列，為的前n項和，．

若，求的值；

若是公比為的等比數(shù)列，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

若的各項都不為零，是公差為d的等差數(shù)列，求證：，，，，成等差數(shù)列的充要條件是．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，，，分別為的中點．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，網(wǎng)上購物越來越受到人們的喜愛，各大購物網(wǎng)站為增加收入，促銷策略越來越多樣化，促銷費用也不斷增加.下表是某購物網(wǎng)站2017年1-8月促銷費用（萬元）和產(chǎn)品銷量（萬件）的具體數(shù)據(jù).

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)可知與具有線性相關(guān)關(guān)系，請建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到）；

（2）已知6月份該購物網(wǎng)站為慶祝成立1周年，特制定獎勵制度：以（單位：件）表示日銷量， ，則每位員工每日獎勵100元； ，則每位員工每日獎勵150元； ，則每位員工每日獎勵200元.現(xiàn)已知該網(wǎng)站6月份日銷量服從正態(tài)分布，請你計算某位員工當(dāng)月獎勵金額總數(shù)大約多少元.（當(dāng)月獎勵金額總數(shù)精確到百分位）

參考數(shù)據(jù)： ， ，其中， 分別為第個月的促銷費用和產(chǎn)品銷量， .

參考公式：

（1）對于一組數(shù)據(jù)， ， ， ，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為， .

（2）若隨機變量服從正態(tài)分布，則， .

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