Question

1．若$0＜{θ_1}＜{θ_2}＜\frac{π}{2}$，則必有（　�。�

• A． ${e^{cos{θ_1}}}-{e^{cos{θ_2}}}＞lncos{θ_1}-lncos{θ_2}$
• B． ${e^{cos{θ_1}}}-{e^{cos{θ_2}}}＜lncos{θ_1}-lncos{θ_2}$
• C． $cos{θ_2}{e^{cos{θ_1}}}＞cos{θ_1}{e^{cos{θ_2}}}$
• D． $cos{θ_2}{e^{cos{θ_1}}}＜cos{θ_1}{e^{cos{θ_2}}}$

Answer 1

分析 設(shè)cosθ=x，則0＜x＜1，構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），根據(jù)條件判斷出f′（x）的符號(hào)，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)得到f（cosθ₁）＜f（cosθ₂），即可求出答案．

解答 解：設(shè)cosθ=x，則0＜x＜1
構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
則f′（x）=$\frac{{e}^{x}（1-x）}{{x}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
∵y=cosθ在（0，$\frac{π}{2}$）單調(diào)遞減，
∴1＞cosθ₁＞cosθ₂＞0
∴f（cosθ₁）＜f（cosθ₂），
∴$\frac{{e}^{cos{θ}_{1}}}{cos{θ}_{1}}$＜$\frac{{e}^{cos{θ}_{2}}}{cos{θ}_{2}}$，
∴$cos{θ_2}{e^{cos{θ_1}}}＜cos{θ_1}{e^{cos{θ_2}}}$，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，以及利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的解題構(gòu)造能力和轉(zhuǎn)化思想．