已知函數(shù)f(x)=+lnx-1(a是常數(shù),e=2.71828).
(Ⅰ)若x=2是函數(shù)f(x)的極值點,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)a=1時,方程f(x)=m在x∈[,e2]上有兩解,求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅲ)求證:ln(n>1,且n∈N*).
【答案】分析:(Ⅰ)對f(x)進行求導(dǎo),因為x=2是函數(shù)f(x)的極值點,可得f′(2)=0,求得a的值,求出切點根據(jù)導(dǎo)數(shù)與斜率的關(guān)系求出切線方程;
(Ⅱ)把a=1代入函數(shù)f(x)=+lnx-1,對其進行求導(dǎo),方程f(x)=m在x∈[,e2]上有兩解,將問題轉(zhuǎn)化為求f(x)的值域,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的最值問題;
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,a=1時,由(2)知f(x)=+lnx在[1,+∞)上為增函數(shù),可以令x=,得到一個不等式,利用此不等式進行放縮證明;
解答:解:(Ⅰ)f′(x)=,x=2是函數(shù)f(x)的極值點,
∴f′(2)=0,可得=0,得a=2,
∴f′(1)=1-a=-1,
點(1,f(1))即(1,2),
∴y-2=(-1)(x-1),即x+y-1=0
∴切線方程為x+y-1=0;
(Ⅱ)當(dāng)a=1時,f(x)=+lnx-1,f′(x)=,其中x∈[,e2],
當(dāng)x∈[,1)時,f′(x)<0;
x∈(1,e2]時,f′(x)>0,
∴x=1是f(x)在[,e2]上唯一的極小值點,
∴[f(x)min]=f(1)=0;
f()=e-2,f(e2)=+lne2-1=+1,
f()-f(e2)=e-2--1<0,
綜上,所以實數(shù)m的取值范圍為{m|0≤m≤e-2};
(Ⅲ)若a=1時,由(2)知f(x)=+lnx在[1,+∞)上為增函數(shù),
當(dāng)n>1時,令x=,則x>1,故f(x)>f(1)=0,
即f()=+ln=-+ln>0,
∴l(xiāng)n(n>1,且n∈N*);
點評:此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的最值問題,此題考查的知識點比較全面,第三問難度比較大,需要用到前兩問的結(jié)論,此題是一道中檔題;
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已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時f(x)的表達式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為( �。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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