Question

12．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，與雙曲線的漸進線交于C，D兩點，若|AB|≥$\frac{3}{5}$|CD|，則雙曲線離心率的取值范圍為（　　）

• A． [$\frac{5}{3}$，+∞）
• B． [$\frac{5}{4}$，+∞）
• C． （1，$\frac{5}{3}$]
• D． （1，$\frac{5}{4}$]

Answer 1

分析 將x=c代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1和y=±$\frac{a}$x，求出A，B，C，D的坐標，由兩點之間的距離公式求得|AB|，|CD|，由|AB|≥$\frac{3}{5}$|CD|，求得a和c的關系，根據離心率公式，即可求得離心率的取值范圍．

解答 解：當x=c時代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1得y=±$\frac{^{2}}{a}$，則A（c，$\frac{^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{^{2}}{a}$），則AB=$\frac{2^{2}}{a}$，
將x=c代入y=±$\frac{a}$x得y=±$\frac{bc}{a}$，則C（c，$\frac{bc}{a}$），D（c，-$\frac{bc}{a}$），
則|CD|=$\frac{2bc}{a}$，
∵|AB|≥$\frac{3}{5}$|CD|
∴$\frac{2^{2}}{a}$≥$\frac{3}{5}$×$\frac{2bc}{a}$，即b≥$\frac{3}{5}$c，
則b²≥$\frac{9}{25}$c²=c²-a²，
即$\frac{16}{25}$c²≥a²，
則e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$，則e≥$\frac{5}{4}$，
故選：B．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據方程求出交點坐標，結合距離公式進行求解是解決本題的關鍵，屬于中檔題．