Question

5．已知定義在[-2，2]上的函數(shù)y=f（x）和 y=g（x），其圖象如圖所示：給出下列四個(gè)命題：
①方程f[g（x）]=0有且僅有6個(gè)根 
②方程f[f（x）]=0有且僅有5個(gè)根方程 
③g[g（x）]=0有且僅有3個(gè)根
④方程g[f（x）]=0有且僅有4個(gè)根
其中正確命題的序號(hào)（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 通過f（x）=0可知函數(shù)有三個(gè)解，g（x）=0有2個(gè)解，具體分析 ①②③④推出正確結(jié)論．

解答 解：由圖象可得-2≤g（x）≤2，-2≤f（x）≤2，
①由于滿足方程f[g（x）]=0 的g（x）有三個(gè)不同值，由于每個(gè)值g（x）對(duì)應(yīng)了2個(gè)x值，
故滿足f[g（x）]=0的x值有6個(gè)，即方程f[g（x）]=0有且僅有6個(gè)根，故①正確．
②由于滿足方程f[f（x）]=0的f（x）有3個(gè)不同的值，從圖中可知，一個(gè)f（x）等于0，
一個(gè)f（x）∈（-2，-1），一個(gè)f（x）∈（1，2）．
而當(dāng)f（x）=0對(duì)應(yīng)了3個(gè)不同的x值；當(dāng)f（x）∈（-2，-1）時(shí)，只對(duì)應(yīng)一個(gè)x值；
當(dāng)f（x）∈（1，2）時(shí)，也只對(duì)應(yīng)一個(gè)x值．
故滿足方程f[f（x）]=0的x值共有5個(gè)，故②正確．
④由于滿足方程g[f（x）]=0的f（x）有2個(gè)不同的值，從圖中可知，每一個(gè)值f（x），
一個(gè)f（x）的值在（-2，-1）上，令一個(gè)f（x）的值在（0，1）上．
當(dāng)f（x）的值在（-2，-1）上時(shí)，原方程有一個(gè)解；f（x）的值在（0，1）上，原方程有3個(gè)解．
故滿足方程g[f（x）]=0的x值有4個(gè)，故④正確．
③由于滿足方程g[g（x）]=0 的g（x）值有2個(gè)，而結(jié)合圖象可得，每個(gè)g（x）值對(duì)應(yīng)2個(gè)不同的x值，
故滿足方程g[g（x）]=0 的x值有4個(gè)，即方程g[g（x）]=0有且僅有4個(gè)根，故③不正確．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的圖象，考查邏輯思維能力及識(shí)別圖象的能力，是中檔題．