Question

19．一個(gè)袋中裝有黑球，白球和紅球共n（n∈N^*）個(gè)，這些球除顏色外完全相同．已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是$\frac{2}{5}$．現(xiàn)從袋中任意摸出2個(gè)球．
（Ⅰ） 用含n的代數(shù)式表示摸出的2球都是黑球的概率，并寫出概率最小時(shí)n的值．（直接寫出n的值）
（Ⅱ） 若n=15，且摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率是$\frac{4}{7}$，設(shè)X表示摸出的2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意有$\frac{2}{5}n$個(gè)黑球，記“摸出的2球都是黑球”為事件A，利用排列組合知識(shí)求出P（A）=$\frac{4n-10}{25n-25}$，從而求出P（A）最小時(shí)n=5．
（Ⅱ）依題意有$\frac{2}{5}×15$=6個(gè)黑球，設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，記“從袋中任意摸出兩個(gè)球到少得到一個(gè)白球”為事件B，由對(duì)立事件概率計(jì)算公式求出袋中紅球的個(gè)數(shù)為4個(gè)，機(jī)變量X的取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）依題意有$\frac{2}{5}n$個(gè)黑球，記“摸出的2球都是黑球”為事件A，
則P（A）=$\frac{{C}_{\frac{2}{5}n}^{2}}{{C}_{n}^{2}}$=$\frac{\frac{2}{5}n（\frac{2}{5}n-1）}{n（n-1）}$=$\frac{4n-10}{25n-25}$
∴P（A）最小時(shí)n=5．
（Ⅱ）依題意有$\frac{2}{5}×15$=6個(gè)黑球，
設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，
記“從袋中任意摸出兩個(gè)球到少得到一個(gè)白球”為事件B，
則P（B）=1-$\frac{{C}_{15-x}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{4}{7}$，整理，得：x²-29x+120=0，
解得x=5或x=24（舍），
∴袋中紅球的個(gè)數(shù)為4個(gè)，機(jī)變量X的取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{11}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{11}{21}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{11}^{1}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{44}{105}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{15}^{2}}=\frac{2}{35}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{11}{21}$	$\frac{44}{105}$	$\frac{2}{35}$

EX=$\frac{11}{21}×0+\frac{44}{105}×1+\frac{2}{35}×2=\frac{8}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．