Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax²+（2a+1）x+b，其中a，b∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1，b=-4時(shí)，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（Ⅱ）如果函數(shù)f（x）的圖象在直線y=x+2的上方，證明：b＞2；
（Ⅲ）當(dāng)b=2時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解方程x²+3x-4=0，即可得到所求零點(diǎn)；
（Ⅱ）（方法1）由題意可得ax²+（2a+1）x+b＞x+2對x∈R恒成立．考慮x=0，可得結(jié)論；
（方法2）由題意可得ax²+2ax+b-2＞0對x∈R恒成立．討論當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)a≠0時(shí)，得a＞0，且△=（2a）²-4a（b-2）＜0，即可得證；
（Ⅲ）由題意可得（ax+1）（x+2）＜0，對a討論，當(dāng)a＜0，a=0，當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)$a＞\frac{1}{2}$時(shí)，運(yùn)用二次不等式的解法，即可得到所求解集．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=x²+3x-4=0，解得x=-4，或x=1．
所以函數(shù)f（x）有零點(diǎn)-4和1．
（Ⅱ）證明：（方法1）因?yàn)閒（x）的圖象在直線y=x+2的上方，
所以ax²+（2a+1）x+b＞x+2對x∈R恒成立．
即ax²+2ax+b-2＞0對x∈R恒成立．
所以當(dāng)x=0時(shí)上式也成立，代入得b＞2．
（方法2）因?yàn)閒（x）的圖象在直線y=x+2的上方，
所以ax²+（2a+1）x+b＞x+2對x∈R恒成立．
即ax²+2ax+b-2＞0對x∈R恒成立．
當(dāng)a=0時(shí)，顯然b＞2．
當(dāng)a≠0時(shí)，
由題意，得a＞0，且△=（2a）²-4a（b-2）＜0，
則4a（b-2）＞4a²＞0，
所以4a（b-2）＞0，即b＞2．
綜上，b＞2．
（Ⅲ）由題意，得不等式ax²+（2a+1）x+2＜0，即（ax+1）（x+2）＜0．
當(dāng)a=0時(shí)，不等式化簡為x+2＜0，解得x＜-2；
當(dāng)a≠0時(shí)，解方程（ax+1）（x+2）=0，得根x₁=-2，${x_2}=-\frac{1}{a}$．
所以，當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解為：x＜-2，或$x＞-\frac{1}{a}$；
當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，不等式的解為：$-\frac{1}{a}＜x＜-2$；
當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，不等式的解集為∅；
當(dāng)$a＞\frac{1}{2}$時(shí)，不等式的解為：$-2＜x＜-\frac{1}{a}$．
綜上，當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜-2，或$x＞-\frac{1}{a}\}$；
當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜-2}；
當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，不等式的解集為$\{x|-\frac{1}{a}＜x＜-2\}$；
當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，不等式的解集為∅；
當(dāng)$a＞\frac{1}{2}$時(shí)，不等式的解集為$\{x|-2＜x＜-\frac{1}{a}\}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的求法，注意運(yùn)用方程思想，考查二次不等式恒成立問題的解法，注意結(jié)合二次函數(shù)的圖象和分類討論思想方法，考查二次不等式的解法，注意運(yùn)用分類討論思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．