Question

14．已知$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為120⁰，且|${\overrightarrow a}$|=2，|${\overrightarrow b}$|=3．
（1）求$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$和|3$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b}$|；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，x$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$+3$\overrightarrow b$垂直？
（3）求$\overrightarrow a$與3$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$的夾角．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量數(shù)量積的定義和應(yīng)用即可求$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$和|3$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b}$|；
（2）根據(jù)向量垂直轉(zhuǎn)化為（x$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a$+3$\overrightarrow b$）=0，解方程即可．
（3）根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用即可求$\overrightarrow a$與3$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$的夾角．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為120⁰，且|${\overrightarrow a}$|=2，|${\overrightarrow b}$|=3．
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|\overrightarrow a|•|\overrightarrow b|•cos{120°}=2×3×（-\frac{1}{2}）=-3$，
∵$|3\overrightarrow a+2\overrightarrow b{|^2}=9|\overrightarrow a{|^2}+4|\overrightarrow b{|^2}+12\overrightarrow a•\overrightarrow b=36$，
∴$|3\overrightarrow a+2\overrightarrow b|=6$．
（2）若x$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$+3$\overrightarrow b$垂直，
則$（x\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a+3\overrightarrow b）=4x-27+（3x-1）•（-3）=-24-5x=0$，
∴$x=-\frac{24}{5}$．
（3）設(shè)$\overrightarrow a$與3$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$的夾角為θ，則$\overrightarrow a$•（3$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$）=3${\overrightarrow a}$²+2$\overrightarrow a$•${\overrightarrow b}$=12-6=6，
則$cosθ=\frac{\overrightarrow a•（3\overrightarrow a+2\overrightarrow b）}{{|\overrightarrow{a|}•|3\overrightarrow a+2\overrightarrow b|}}=\frac{12-6}{2×6}=\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow a$與3$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$的夾角θ=60°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量數(shù)量積的定義以及應(yīng)用，根據(jù)相應(yīng)的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．