Question

已知函數(shù)f(x)=ax²+ln(x+1).
（1）當a=時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當時，函數(shù)y=f(x)圖像上的點都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：（其中,e是自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）（3）見解析

試題分析：
（1）函數(shù)f(x)是二次與對數(shù)的結合，求單調(diào)性可以利用導數(shù)，以此先求定義域，求導，求導函數(shù)大于0與小于0分別求出單調(diào)遞增與單調(diào)遞減區(qū)間.
（2）要使得函數(shù)圖象上的點都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則當時，
不等式恒成立即可，即轉(zhuǎn)化了恒成立問題，則只需要,故考慮對求導求單調(diào)性來確定函數(shù)在上的最大值，因為導函數(shù)含有參數(shù)a，所以在求解單調(diào)性確定最值的過程中需要討論a的范圍，討論需從兩根的大小和0的大小進行分析才能確定的最值，從而得到a的取值范圍.
（3）考慮把不等式兩邊同時去對數(shù)再證明，即證明，利用對數(shù)的乘法公式可以把不等式的左邊化解成為不可求和數(shù)列的和，在利用利用（2）得到當a=0時，ln(1+x)是恒成立的，把不可求和數(shù)列放縮成為可以裂項求和的數(shù)列，裂項利用，進而證明原不等式.
試題解析：
（1）當時，（），
（），  1分
由解得，由解得．
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．  3分
（2）因函數(shù)圖象上的點都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則當時，
不等式恒成立，即恒成立，
設（），只需即可．  4分
由，
（ⅰ）當時，，當時，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．   5分
（ⅱ）當時，由，因，所以，
①，即時，在區(qū)間上，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
在上無最大值（或：當時，），此時不滿足條件；
②若，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣在上無最大值，不滿足條件．   8分
（ⅲ）當時，由，∵，∴，
∴，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．   10分
（3）據(jù)（2）知當時，在上恒成立.
（或另證在區(qū)間上恒成立），   11分
又，
∵



，
.       14分