Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=λa_n+2ⁿ（n∈N^*），λ為非零常數(shù)
（1）當(dāng)λ=1時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)λ=11時(shí)，記b_n=a_n+$\frac{1}{9}$×2ⁿ，證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；并求此時(shí)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）利用累加法即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，
（2）根據(jù)等比數(shù)列定義即可證明．

解答 解：（1）當(dāng)λ=1時(shí)，a_n+1=a_n+2ⁿ，
則a_n+1-a_n=2ⁿ，
a₂-a₁=2，
a₃-a₂=2²，
…
a_n-a_n-1=2^n-1，
由累加法得：a_n-a₁=2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-2
解得a_n=2ⁿ（n≥2）
顯然，當(dāng)n=1時(shí)也適合，故a_n=2ⁿ（n∈N*）．
（2）當(dāng)λ=11時(shí)，b_n=a_n+$\frac{1}{9}$×2ⁿ，
∴b_n+1=a_n+1+$\frac{1}{9}$×2ⁿ⁺¹=11a_n+2ⁿ+$\frac{1}{9}$×2ⁿ⁺¹=11a_n+$\frac{11}{9}$×2ⁿ=11（a_n+$\frac{1}{9}$×2ⁿ）
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=11，
∵b₁=a₁+$\frac{1}{9}$×2¹=2+$\frac{2}{9}$=$\frac{20}{9}$
∴數(shù)列{b_n}是以$\frac{20}{9}$為首項(xiàng)，以11為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=$\frac{20}{9}$•11^n-1，
∴a_n+$\frac{1}{9}$×2ⁿ=$\frac{20}{9}$•11^n-1，
∴a_n=$\frac{20}{9}$•11^n-1-$\frac{1}{9}$×2ⁿ=$\frac{1}{9}$（20×11^n-1-2ⁿ）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列定義和數(shù)列的遞推公式和累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．