Question

2．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=m-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（其中t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=2
（1）若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的值；
（2）若點(diǎn)P（m，0），直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于相異兩點(diǎn)A，B，求|PA|•|PB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)C的普通方程，令判別式等于0解出m；
（2）令判別式大于0解出m的取值范圍，利用關(guān)于系數(shù)的關(guān)系得出|PA|•|PB|關(guān)于m的函數(shù)，根據(jù)m的范圍解出．

解答 解：（1）曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4，
將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入上式得：t²-$\sqrt{2}m$t+m²-4=0，
∵直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴（-$\sqrt{2}$m）²-4（m²-4）=0，解得m=$±2\sqrt{2}$．
（2）∵直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于相異兩點(diǎn)A，B，
∴（-$\sqrt{2}$m）²-4（m²-4）＞0，解得-2$\sqrt{2}$＜m＜2$\sqrt{2}$．
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁t₂=m²-4．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=|m²-4|．
∵-2$\sqrt{2}$＜m＜2$\sqrt{2}$，∴0＜m²＜8，∴0≤|m²-4|＜4．
∴|PA|•|PB|的取值范圍是[0，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義與應(yīng)用，屬于中檔題．