Question

已知函數f（x）=lnx的圖象與g（x）=ax+

b

x

的圖象交于點P（1，0），且在P點處有公共切線．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）對任意x＞0，試比較f（x）與g（x）的大�。�

Answer 1

考點：導數的幾何意義,函數的單調性與導數的關系

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由函數f（x）=lnx的圖象與g（x）=ax+

b

x

的圖象交于點P（1，0），且在P點處有公共切線，可得g（1）=a+b=0且g'（1）=f'（1）=a-b=1，解得a，b的值；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x），利用導數法可得F（x）在（0，+∞）上為減函數，分當0＜x＜1時；當x=1時；當x＞1時；三種情況討論，可得f（x）與g（x）的大小．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數f（x）=lnx的圖象與g（x）=ax+

b

x

的圖象交于點P（1，0），
∴g（1）=a+b=0①…（2分）
又f′(x)=

1

x

，g′(x)=a-

b

x2

，
由f（x）與g（x）在點（1，0）處有公共切線，
∴g'（1）=f'（1）=1，
即a-b=1②…（4分）
由①②锝a=

1

2

，b=-

1

2

…（6分）
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x），
則F(x)=lnx-(

1

2

x-

1

2x

)=lnx-

1

2

x+

1

2x

…（7分）
∴F′(x)=

1

x

-

1

2

-

1

2x2

=-

1

2

(

1

x

-1)2≤0
∴F（x）在（0，+∞）上為減函數     …（9分）
當0＜x＜1時，F(xiàn)（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x）；
當x=1時，F(xiàn)（1）=0，即f（x）=g（x）；
當x＞1時，F(xiàn)（x）＜F（1）=0，即f（x）＜g（x）．…（12分）

點評：本題考查的知識點是導數的幾何意義，導數法確定函數的單調性，是導數的簡單綜合應用，難度中檔．