Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，其前n項和為S_n，A，B，C是同一直線上的三點，其橫坐標分別為S_n+1，S_n，S_n-1（n≥2），且

AB

=

2an+1

an

BC

．在數(shù)列{b_n}中，b₁=1，b_n+1-b_n=log₂（a_n+1）．
（1）證明數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列；
（2）設c_n=

4 bn+1-1 n+1

anan+1

，數(shù)列{c_n}的前n項和設為T_n，試比較T_n與1的大�。�

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比關系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應用

分析：（1）由已知得到數(shù)列遞推式，整理后配方得到{a_n+1}是首項為2，公比也為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）求出數(shù)列{a_n}的通項公式，代入b_n+1-b_n=log₂（a_n+1），利用累加法求得數(shù)列{b_n}的通項公式，代入c_n=

4 bn+1-1 n+1

anan+1

整理后利用裂項相消法求得數(shù)列{c_n}的前n項和設為T_n，放縮后得答案．

解答： （1）證明：∵A，B，C是同一直線上的三點，其橫坐標分別為S_n+1，S_n，S_n-1（n≥2），且

AB

=

2an+1

an

BC

．
∴Sn-Sn+1=

2an+1

an

(Sn-1-Sn)，
即-an+1=

2an+1

an

•(-an)，
a_n+1=2a_n+1，
則a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），
又a₁+1=2，a₂+1=4，
故{a_n+1}是首項為2，公比也為2的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）知an=2n-1，
∴bn+1-bn=log22n=n，
則b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（n-1）+（n-2）+…+1+1．
∴bn=1+

n(n-1)

2

．
又cn=

4 n 2

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=(

1

21-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)
=

1

21-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

＜1．

點評：本題考查了平面向量的坐標表示，考查了等比關系的確定，訓練了裂項相消法求數(shù)列的和，考查了放縮法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．