考點:數(shù)列與不等式的綜合,等比關系的確定
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應用
分析:(1)由已知得到數(shù)列遞推式,整理后配方得到{a
n+1}是首項為2,公比也為2的等比數(shù)列;
(2)由(1)求出數(shù)列{a
n}的通項公式,代入b
n+1-b
n=log
2(a
n+1),利用累加法求得數(shù)列{b
n}的通項公式,代入c
n=
整理后利用裂項相消法求得數(shù)列{c
n}的前n項和設為T
n,放縮后得答案.
解答:
(1)證明:∵A,B,C是同一直線上的三點,其橫坐標分別為S
n+1,S
n,S
n-1(n≥2),且
=.
∴
Sn-Sn+1=(Sn-1-Sn),
即
-an+1=•(-an),
a
n+1=2a
n+1,
則a
n+1+1=2(a
n+1)(n≥2),
又a
1+1=2,a
2+1=4,
故{a
n+1}是首項為2,公比也為2的等比數(shù)列;
(2)解:由(1)知
an=2n-1,
∴
bn+1-bn=log22n=n,
則b
n=(b
n-b
n-1)+(b
n-1-b
n-2)+…+(b
2-b
1)+b
1=(n-1)+(n-2)+…+1+1.
∴
bn=1+.
又
cn==-,
∴T
n=c
1+c
2+…+c
n=
(-)+(-)+…+(-)=
-=1-<1.
點評:本題考查了平面向量的坐標表示,考查了等比關系的確定,訓練了裂項相消法求數(shù)列的和,考查了放縮法證明數(shù)列不等式,是壓軸題.