Question

18．如圖，四面體ABCD中，O、E分別 BD、BC的中點，AB=AD=$\sqrt{2}$，CA=CB=CD=BD=2．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值大��；
（3）求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，要證AO⊥平面BCD，只需證AO⊥BD，AO⊥CO即可，用運算的方式來證明結(jié)論．
（2）法一：取AC中點F，連接OF．OE．EF，由中位線定理可得EF∥AB，OE∥CD所以∠OEF（或其補角）是異面直線AB與CD所成角，然后在Rt△AOC中求解．法二：以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，異面直線AB與CD的向量坐標，求出兩向量的夾角即可；
（3）求出平面ACD的法向量，點E到平面ACD的距離轉(zhuǎn)化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可．

解答 解：（1）連接OC，∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD，
∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD，
在△AOC中，由題設知 AO=1，CO=$\sqrt{3}$，AC=2，
∴AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，
∵AO⊥BD，BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD；            
（2）取AC中點F，連接OF、OE、E
△ABC中E、F分別為BC、AC中點
∴EF∥AB，且EF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
△BCD中O．E分別為BD．BC中點
∴OE∥CD且OE=$\frac{1}{2}$CD=1
∴異面直線AB與CD所成角等于∠OEF（或其補角
又OF是Rt△AOC斜邊上的中線∴OF=$\frac{1}{2}$AC=1
∴等腰△OEF中cos∠OEF=$\frac{\frac{1}{2}EF}{OE}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$；        
（2）解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則B（1，0，0），D（-1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），A（0，0，1），E（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{BA}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，-$\sqrt{3}$，0）．
∴cos＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴異面直線AB與CD所成角的大小為arccos$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
（3）解：設平面ACD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=（x，y，z）•（-1，0，-1）=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=（x，y，z）•（0，\sqrt{3}，-1）=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+z=0}\\{\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$）是平面ACD的一個法向量．
又$\overrightarrow{EC}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
∴點E到平面ACD的距離h=$\frac{|\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題主要考查線線，線面，面面垂直的轉(zhuǎn)化及異面直線所成角的求法，同時，考查了轉(zhuǎn)化思想和運算能力，是�？碱愋�，屬中檔題．