Question

8．定義域為R的偶函數(shù)f（x）滿足?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18，若函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）至少有五個零點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• C． （0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）
• D． （0，$\frac{\sqrt{6}}{6}$）

Answer 1

分析 先利用函數(shù)是偶函數(shù)求出f（1），進而得到函數(shù)的周期性，然后利用函數(shù)的周期性和奇偶性作出函數(shù)f（x）的圖象，利用f（x）與log_a（x+1）的圖象關(guān)系確定取值范圍．

解答 解：∵f（x+2）=f（x）-f（1），
且f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，
令x=-1可得f（-1+2）=f（-1）-f（1），
又f（-1）=f（1），
可得f（1）=0 則有，f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期為2的偶函數(shù)．
當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18=-2（x-3）²，
函數(shù)f（x）的圖象為開口向下，頂點為（3，0）的拋物線．
∵函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）至少有五個零點，
令g（x）=log_a（x+1），
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，
要使函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）至少有五個零點，

如上圖所示，只需要滿足g（4）＞f（2），即 log_a（4+1）＞f（2）=-2，
∴l(xiāng)og_a5＞-2，∴5＜$\frac{1}{{a}^{2}}$，解得$-\frac{\sqrt{5}}{5}$＜a＜$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
又a＞0，∴0＜a＜$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)與方程以及函數(shù)零點個數(shù)問題，解決此類問題的基本方法是利用數(shù)形結(jié)合，將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，是中檔題．