Question

【題目】如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1是菱形，AC=BC=2，∠CBB1=，點A在平面BCC1B1上的投影為棱BB1的中點E．

（1）求證：四邊形ACC1A1為矩形；

（2）求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）通過勾股定理得出，又，進而可得平面，則可得到，問題得證；

（2）如圖，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空間向量的夾角公式可得答案.

（1）因為平面，所以，

又因為，，，所以，

因此，所以，

因此平面，所以，

從而，又四邊形為平行四邊形，

則四邊形為矩形；

（2）如圖，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，所以，

平面的法向量，設(shè)平面的法向量，

由，

由，

令，即，

所以，，

所以，所求二面角的余弦值是.